Áp dụng bdt Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có :
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2yz+2xz+2xy}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2}{2xz}\ge x+y+z\)
Cho x;y;z>0 và x+y+z=xyz. Tìm giá trị lớn nhất của :
\(P=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\)
Cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) . chứng minh rằng \(\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}=1\)
cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
tính\(A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xy}{z^2+2xy}+\frac{xz}{y^2+2xz}\)
Biết x , y , z là số đo đỗ dài các đoạn thẳng thỏa mãn :
\(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}>1\)
Chứng minh x , y , z là ssos đo ddoojj dài các cạnh của 1 tam giác
Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\). Chứng minh rằng
\(\frac{1}{\left(2xy+yz+zx\right)^2}+\frac{1}{\left(2yz+zx+xy\right)^2}+\frac{1}{\left(2xz+xy+yz\right)^2}\le\frac{3}{16x^2y^2z^2}\)
Cho x, y, z > 0. CM: \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3.Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2zx+x^2}}\ge\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
a, Cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\frac{21}{4x}+\frac{21}{4y}+\frac{21}{4z}=0\)
Tính giá trị biểu thức: P= \(\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
b, Giải phương trình: \(\frac{x3}{3}+\frac{48}{x^2}=10\left(\frac{x}{3}-\frac{4}{x}\right)\)
