Question

Cho \(x>y\)và \(xy=1\)

Chứng minh \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

Answer 1

Ta có : \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Vì \(x>y\) nên \(\hept{\begin{cases}x-y>0\\\frac{2}{x-y}>0\end{cases}}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :

\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)

Answer 2

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2+2}{x-y}\)

Vì theo giả thiết, \(xy=1\)nên \(2xy=2\), em dùng phương pháp Thêm Bớt

\(\frac{x^2-2xy+y^2+2}{x-y}=\frac{x-y^2+2}{x-y}\)

\(=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số dương là : \(x-y\)và \(\frac{2}{x-y}\) nên ta có:

\(x-y+\frac{2}{x-y}=2\sqrt{2}\)

Vậy: \(GTNN=2\sqrt{2}\Leftrightarrow x-y=\frac{2}{x-y}\)