Bài giải
Ta có : ( x- 3 ) 2 \(\ge\)0 <=> x2 - 6.x + 9 \(\ge\) 0 <=> x. ( x - 1 ) \(\ge\)5.x-9 .Tương tự : y. ( y - 1 )\(\ge\) 5.y - 9 .
Từ đó : x . ( x - 1 ) + y . ( y - 1 ) \(\ge\) 5. ( x + y ) -18 \(\ge\) 5. 6 - 18 = 12 . Khi x = y = 3 thì đẳng thức xảy ra => đpcm
Dạo này bận nên bài hơi sơ sài tí.
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x+y\ge6\end{cases}}\). Chứng minh rằng \(P=x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)\ge12\)
Cho \(x\ge2;y\ge2.\)Chứng minh \(x\sqrt{2\left(y-2\right)}+y\sqrt{2\left(x-2\right)}\le xy\).Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Lâu lâu đăng bài giải trí!
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(3\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\ge2\left(x^2y^2-xy+1\right);\forall x,y\inℝ\)
Dấu "=" xảy ra khi nào???
cho hàm số \(y=\frac{2x^2+6\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}+5}{x^2+3x-4}\)
a, tìm tập xác định của hàm số
b, chứng minh y<=3. chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
Đặt x = 1 + a ; y = 1 + b , ( a , b \(\in\) R ). Từ giả thiết suy ra z = 1 - a - b.
Ta có:
\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)\(=\left(1+a\right)^2+\left(1+b\right)^2+\left(1-a-b\right)^2+\left(1+a\right)\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1-a-b\right)+\left(1-a-b\right)\left(1+a\right)=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+6\ge6.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
\(b=0;a+\frac{b}{2}=0\Leftrightarrow a=0;b=0\Leftrightarrow x=y=z=1.\)
Naruto nhận nè bạn.
Câu 21:
\(\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\ge x^4y^4+\frac{x^8y^8}{2}-1-2x^2y^2-x^4y^4=\left(x^2y^2-1\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^4y^4-1\right)^2-\frac{5}{2}\ge-\frac{5}{2}.\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1
Đặt y=3-x, bài toán trở thành tìm min \(P=x^4+y^4+6x^2y^2\), trong đó x và y là các số thực thỏa mãn hệ \(\int^{x+y=3}_{x^2+y^2=5}\Rightarrow\int^{x^2+y^2+2xy=9}_{x^2+y^2\ge5}\) \(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)+4\left(x^2+y^2+2xy\right)\ge5+4.9=41\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+y^2\right)+4\left(2xy\right)\ge41\)
Lại có \(16\left(x^2+y^2\right)^2+25\left(2xy\right)^2\ge40\left(x^2+y^2\right)\left(2xy\right)\) (theo bất đẳng thức cosi) (1)
Dấu bằng xảy ra khi \(4\left(x^2+y^2\right)=5\left(2xy\right)\)
Cộng 2 vế của (1) với \(25\left(x^2+y^2\right)^2+16\left(2xy\right)^2\) ta có
\(41\left(\left(x^2+y^2\right)^2+\left(2xy\right)^2\right)\ge\left(5\left(x^2+y^2\right)+4\left(2xy\right)\right)^2\ge41^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2+\left(2xy\right)^2\ge41\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge41\)
Vậy min =41, dấu bằng xảy ra khi x=1 hoặc x=2
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho x;y;z>0 và không có 2 số nào đồng thời bằng 0.CMR:
\(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}\ge2\sqrt{1+\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
