Question

cho x+y=2.tìm gtnn của x^3+y^3+2xy

Answer 1

\(A=x^3+y^3+2xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\)

Thay \(x+y=2\)(giả thiết), suy ra:

A=\(2\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\)\(=2\left(x^2+y^2\right)\)

Sử dụng điều kiện \(x+y=2\)như vậy: \(\left(x+y\right)^2=4\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=4\)\(\left(1\right)\)

Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)\(\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2), ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge4\)

Vậy Amin = 4 \(\Leftrightarrow x^2+y^2=2\Leftrightarrow x=y=1\)

Answer 2

x³+y³+2xy=(x+y)(x²-xy+y²)+2xy=2(x²-xy+y²)+2xy=2x²-2xy+2y²+2xy=2x²+2y²

Ta có: 2x²>=0(với mọi x)

          2y²>=0(với mọi y)

=>2x²+2y²>=0(với mọi x,y)

hay x³+y³+2xy >=0(với mọi x,y)

Do đó, GTNN của x³+y³+2xy là 0

Answer 3

\(x+y=2\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\ge2xy+2xy=4xy\) (vì  \(x^2+y^2\ge2xy\))

=>\(xy\le1\)

\(A=x^3+y^3+2xy=\left(x+y\right)\left\{\left(x+y\right)^2-3xy\right\}+2xy\)

   \(=2\left(4-3xy\right)+2xy=-4xy+8\ge-4+8=4\)(vì \(xy\le1\))

Vậy A min = 4 khi x =y =1