\(A=\frac{x^2y^2}{x^2.xy+y^4}+\frac{x^2y^2}{x^4+xy.y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\left(\frac{x}{y}\right)^3+1}+\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{x}{y}.\left[\left(\frac{x}{y}\right)^3+1\right]}\)
\(=\frac{t^2}{t^3+1}+\frac{t^2}{t\left(t^3+1\right)}\text{ }\left(t=\frac{x}{y}>0\right)\)
\(=\left(\frac{t^2+t}{t^3+1}-1\right)+1=-\frac{\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)}{t^3+1}+1\le1\forall t>0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(t=1\Leftrightarrow x=y=1.\)
Vậy GTLN của A là 1.
\(A=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^4}}+\frac{1}{x^4+\frac{1}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT côsi
\(x^2+\frac{1}{x^4}\ge\frac{2}{x}\)
\(x^4+\frac{1}{x^2}\ge2x\)
=>\(A\le\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\)
Áp dụng BĐT cosi
\(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=1\)
Dấu = xảy ra <=>x=y=1
Chắc chắn 100% nha
Tick đi nào ae
