khai triển ra còn 4x^2+4y^2+1/x^2+1/y^2+8 =4(x^2+y^2)+(1/x^2+1/y^2)+8
>/ 4.(x+y)^2/2+8/(x+y)^2+8=18
"=" khi x=y=1/2
Đặt \(2x+\frac{1}{x}=a;2y+\frac{1}{y}=b\)
Ta có \(a^2+b^2>=2ab=>2\left(a^2+b^2\right)>=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)
=>\(a^2+b^2>=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của a+b
ta có \(a+b=2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}=2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT cauchy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\)
=>\(a+b>=2+\frac{4}{x+y}=6\)
=>a\(a^2+b^2>=\frac{6^2}{2}=18\)
=>Min \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)=18
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
