Cho x,y>0 tm xy+x+y=1. Tính
\(S=x\sqrt{\frac{2\left(1+y^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{2\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{2}}\)
cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=1
tính Q=\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}+y\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}}\)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của
\(Q=\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\frac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\frac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Tìm giá trị lớn nhất biểu thức \(Q=\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\frac{y}{\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}}+\frac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\)
Rút gọn :\(\frac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\left(1-\sqrt{y}\right)}-\frac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right).\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
Cho x,y,z > 0. Tìm :
a) \(maxA=\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\left(ĐK:x+y+z=1\right)\)
b) \(maxB=\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{x^2}}\left(ĐK:x+y\le1\right)\)
c) \(max,minC=2x+\sqrt{5-x^2}\)
Cho x,y là các số khác 0 và thõa mãn: \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+2\left(x+y\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{2}{xy}=4\) tính S=x+y
\(x+y=4\Rightarrow\frac{x+y}{2}=2\Rightarrow\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\)
\(P.\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P=\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\)
\(x+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+4x\right)-3x\ge4-3x\)
\(y+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{y}+4y\right)-3y\ge4-3y\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}P\ge8-3\left(x+y\right)=8-3.4=-4\)
đến đay sau răng