Question

cho x;y>0 ; x+2y=1 tìm GTNN của P= \(\frac{1}{2xy}\)+\(\frac{1}{x^2+4y^2}\)

Answer 1

Có : (a-b)^2 >= 0 

<=> a^2-2ab+b^2 >= 0

<=> a^2+b^2 >= 2ab

<=> a^2+2ab+b^2 >= 4ab

<=> (a+b)^2 >= 4ab (1) <=> 2ab <= (a+b)^2/2 (2)

Với a,b > 0 thì chia 2 vế của (1) cho (a+b).ab , ta được :

a+b/ab >= 4/a+b

<=> 1/a + 1/b >= 4/a+b (*)

Áp dụng bđt (*) và bđt (2) thì : 

P = 1/2xy + 1/x^2+4y^2 = 1/4xy + (1/4xy + 1/x^2+4y^2) >= 1/2.x.2y + 4/x^2+4xy+y^2

>= 1 : (x+2y)^2/2 + 4/(x+2y)^2 = 1 : 1/2 +4/1 = 6

Dấu "='' xảy ra <=> x=2y và x+2y=1

<=> x=0,5 ; y=0,25

Vậy GTNN của P = 6 <=> x=0,5 và y=0,25

k mk nha

Answer 2

mk mới làm cách khác bạn 

P=\(\frac{1}{x^2+4y^2}\)+\(\frac{1}{4xy}\)+\(\frac{1}{4xy}\)

áp dụng BĐT phụ 1/a +1/b >= 4/a+b

=> \(\frac{1}{x^2+4y^2}\)+\(\frac{1}{4xy}\)>= \(\frac{4}{\left(x+2y\right)^2}\)=4 (1)

áp dụng BĐT phụ 1/ab >= 4/(a+b)^2

+) 1/4xy = 1/2.1/2xy

1/2xy>= 4/(x+2y)^2 = 4

=> 1/4xy >= 1/2 . 4 = 2 (2)

cộng (1) và (2) => P>=6