xy = 1 => \(\left(x+y\right)^2\ge4xy=4.1=4\Rightarrow x+y\ge2\)
Ta CM BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( dễ dàng cm đc bằng cách xét hiệu )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{x+y}=\frac{6}{x+y}\)\(=\frac{6}{2}=3\)
dấu bằng của BĐT xảy ra khi x = y = 1
Lời giải bạn Thắng bị sai.
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{2}+\left(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\right).\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si \(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=1,\) và \(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{x+y}{2}\cdot\frac{2}{x+y}}=2.\) Suy ra
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge1+2=3.\)
