Question

Cho x,y>0 thỏa x+y=1 chứng minh rằng \(A\ge5\)

Với \(A=8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{xy}\)
 

Answer 1

 có bđt: a²+b² ≥ (a+b)²/2 (*) 
(*) <=> 2a²+2b² ≥ a²+b²+2ab <=> a²+b²-2ab ≥ 0 <=> (a-b)² ≥ 0 bđt đúng, dấu "=" khi a = b 
- - - 
ad (*) 2 lần liên tiếp: 
x^4 + y^4 ≥ (x²+y²)²/2 ≥ [(x+y)²/2]²/2 = (x+y)^4 /8 = 1/8 
=> 8(x^4 + y^4) ≥ 1 (*) 

mặt khác, có bđt: (x-y)² ≥ 0 <=> x²+y² ≥ 2xy <=> x²+y²+2xy ≥ 4xy <=> (x+y)² ≥ 4xy 
=> 1/xy ≥ 4/(x+y)² = 4 (**) 

(*) + (**): 8(x^4 + y^4) + 1/xy ≥ 1+4 = 5 (đpcm) dấu "=" khi x = y = 1/2