Chứng minh bằng biến đổi tương đương đơn giản
Cần chứng minh: \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\text{ (*)}\)
\(\text{(*) }\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{x^4-2\sqrt{2}x^3+2\sqrt{2}x+1}{x^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4-2\sqrt{2}x^3+2\sqrt{2}x+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2\left(x-\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2\ge0\)
Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng.
Do đó: \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Rightarrow\left(\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)^2\ge8\text{ (do }x>y\text{)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\text{ hoặc }x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)
Ta có điều phải chứng minh.
