Question

cho x,y là các số thực ko âm tm: x+y+z=2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcx^4+Y^4+Z^4 .

Answer 1

B tự c/m BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)nhé.

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng :

\(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}.\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{1}{3}.\left[\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2\right]^2=\frac{1}{27}.\left(x+y+z\right)^4=\frac{1}{27}.2^4=\frac{16}{27}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

KL:...

 

Answer 2

vận dụng bất đẳng thức x^2+y^2+z^2 \(\ge\) (x+y+z)^2/3

Answer 3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{x^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}x\)

Dấu " = " xảy  ra \(\Leftrightarrow x^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)

Tương tự:

\(y^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{y^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}y\)

\(z^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{z^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}z\)

Dấu " = " xảy  ra \(\Leftrightarrow y^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}\)

                              \(z^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow z=\frac{2}{3}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(x^4+y^4+z^4+\frac{16}{81}.9\ge\frac{32}{27}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge\frac{16}{27}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy Min \(x^4+y^4+z^4=\frac{16}{27}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)