Câu hỏi của Trịnh Hồng Quân

Question

Cho x,y là các số thực dương lớn hơn 1. Chứng minh :$\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8$

ngonhuminh · Accepted Answer

k=x-1; t=y-1; => k,t>0<=>(k^2+2k+1)k+(t^2+2t+1)t>=8ktk^3+2k^2+k+t^3+2t^2+t>=8ktco si$2k^2+2k^2\ge2\sqrt{2.k^2.2.t^2}=4kt$$k^3+t^3+k+t\ge4\sqrt[4]{k^4.t^4}=4kt$ đẳng thức khi k^3=t^3=k^2=t^2=k=t=1=> x=y=2cộng vế với vế$VT\ge VP\Rightarrow dpcm$Câu trả lời: k=x-1; t=y-1; => k,t>0<=>(k^2+2k+1)k+(t^2+2t+1)t>=8ktk^3+2k^2+k+t^3+2t^2+t>=8ktco si$2k^2+2k^2\ge2\sqrt{2.k^2.2.t^2}=4kt$$k^3+t^3+k+t\ge4\sqrt[4]{k^4.t^4}=4kt$ đẳng thức khi k^3=t^3=k^2=t^2=k=t=1=> x=y=2cộng vế với vế$VT\ge VP\Rightarrow dpcm$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)