Ta chứng minh \(P\ge2\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\ge2\sqrt{xy}\)
Thay \(2=x^2+y^2\) thì bđt trở thành \(x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\ge\left(x^2+y^2\right)\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)+y^2\sqrt{y}\left(1-\sqrt{x}\right)\ge0\)
+TH1: \(\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\) thì VT = 0, bđt thỏa mãn
+TH2: \(x>1\)
bđt \(\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)\ge y^2\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-1\right)\text{ (*)}\)
Từ \(x>1\), ta có: \(y=\sqrt{2-x^2}< 1\)
\(\Rightarrow x>y\Rightarrow x^2\sqrt{x}>y^2\sqrt{y}>0\text{ (1)}\)
Cần chứng minh \(1-\sqrt{y}\ge\sqrt{x}-1>0\text{ (2)}\) là bđt sẽ được chứng minh
(2) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}< 2\)
Thật vậy, ta có: \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\le2\)
Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng.
+TH3: chứng minh tương tự TH2, chỉ đảo lại y và x.
Vậy \(P\ge2\). Dấu bằng đạt được tại x = y = 1.
