Ôn tập: Phương trình bâc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thiên Anh

Cho x,y > 0 và x+y=1 . Tìm Min của M=\(\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}\)

Cheewin
10 tháng 5 2017 lúc 9:07

\(\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{3}{2xy}\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Hay \(1\ge2xy.2\)

\(\Rightarrow2xy\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)

\(M=\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{3}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}\)

\(\ge2+3.\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosy

\(\ge2+3.\left(\dfrac{4}{2xy+x^2+y^2}\right)\)= 2 + 12 = 14

Vậy Min M =14 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
TFBoys
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Đỗ Hương Giang
Xem chi tiết
phamthiminhanh
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Gia Hân
Xem chi tiết
Võ Lan Nhi
Xem chi tiết
Lê Thiên Anh
Xem chi tiết
Lê Thu Hiền
Xem chi tiết