Question

Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

Answer 1

\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)

\(\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{256\cdot\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=\frac{255}{256\cdot\frac{1}{16}}=\frac{255}{16}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2\ge\frac{289}{16}\) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)