Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)
\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)
Cộng hai BĐT trên theo vế ta có đpcm
Áp dụng Bđt cô si ta có:
\(xy=\left(x-1\right)y+y\ge2\sqrt{\left(x-1\right)y^2}=2y\sqrt{x-1}\left(1\right)\)
Tương tự:
\(xy=\left(y-1\right)x+x\ge2x\sqrt{y-1}\left(2\right)\)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:
\(2xy\ge2\sqrt{x-1}+2x\sqrt{y-1}\)
\(\Leftrightarrow xy\ge x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\)
ĐPcm
dòng dưới chỗ CỘng theo vế bn ghi thêm
2y căn (x-1) nhá
