Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)
=>\(x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)
=>\(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=xy\)
Dấu ''='' xảy ra <=>x=y=1
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1
Chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
cho \(x\ge1,y\ge1\) CMR: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)
cho x,y,z là các số dương và x+y+z=1 chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{xy+x}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
cho \(x\ge1,y\ge1\).CMR \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\ge xy\)
ta có bđt cần chứng minh
\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)
Áp dụng bđt bu nhi ta có
\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)
mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)
từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx>=x+y+z
Chứng minh rằng \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)
cho \(x\ge1,y\ge2,z\ge3\)
tìm GTLN của \(A=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
1/ Cho \(a\ge1\); \(b\ge1\). Chứng minh rằng: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\(1+X+X^2+X^3=2^Y\)
3/ Cho x+y = 1. Tìm minM = \(x^3y^3\)
Nhờ các bạn giải giùm mình nha :))
Camon!!!
Giả sử \(x,y,z\ge1\)và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)
