a/
Đặt \(x^2=m\ge0;\text{ }y^2=n\ge0\Rightarrow m+n=1\)
Ta có: \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}=\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\right)=\left(m+n\right)^2\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{b}{a}m^2+\frac{a}{b}n^2=m^2+n^2+2mn\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{a}m^2+\frac{a}{b}n^2-2mn=0\text{ (*)}\)
+Nếu \(\frac{a}{b}0\); \(\left(\text{*}\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{b}{a}}m\right)^2-2mn+\left(\sqrt{\frac{a}{b}}n\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{b}{a}}m-\sqrt{\frac{a}{b}}n\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{\frac{b}{a}}m=\sqrt{\frac{a}{b}}n\)
\(\Leftrightarrow bm=an\Leftrightarrow bx^2=ay^2\)(đpcm)
b/
\(bx^2=ay^2\text{ (}a.b>0\text{)}\Rightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\frac{x^{2008}}{a^{1004}}+\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=\left(\frac{x^2}{a}\right)^{1004}+\left(\frac{y^2}{b}\right)^{1004}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}+\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\text{ (đpcm)}\)
Nhưng cho tớ hỏi chút nhé! Nếu tớ nhớ không nhầm thì bất đẳng thức Bunhiacovski dạng phân thức cho áp dụng được với a,b>0?
m2/a2 + n2/b2 >= (m+n)2/a+b
