Question

cho x; y>0 và x+y=1. chứng minh:

(\(x+\frac{1}{x}\))² +(\(y+\frac{1}{y}\))²  lớn hơn hoặc bằng \(\frac{25}{2}\)

Answer 1

(*) CM BĐT : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) ( biến đổi tương đương là được )

Áp dụng :

\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)

TA có : \(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}-3\left(x+y\right)\)

 \(\ge4+4-3=5\) ( theo cô - si ) 

=> 2\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge25\) => ĐPCM 

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y= 0,5