Question

cho x y z thõa mãn x+y+z+xy+yz+zx = 6 .tính giá trị nhỏ nhất của x^2 +y^2+ z^2

 giúp vs         ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !  

Answer 1

Ta có :

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)

\(z^2+x^2\ge2zx\)

\(x^2+1\ge2x\)

\(y^2+1\ge2y\)

\(z^2+1\ge2z\)

Suy ra :  \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2.6=12\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1

Vậy GTNN của  \(x^2+y^2+z^2\)là 3 khi x=y=z=1