Question

Cho x, y, z thỏa mãn: x² + y² + z² = 3. Tìm max, min P = xy + yz + 2xz

Answer 1

cho x^2+y^2+z^2=1. Tim max xy+yz+2xz? | Yahoo Hỏi & Đáp

Answer 2

Ta có: \(xy+yz+2xz\le k\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1\right)\)

Tức cần tìm \(k>0\) để \((1)\) đúng, 

 \(\left(1\right)\Leftrightarrow ky^2-y\left(x+z\right)+kx^2+kz^2-2xz\ge0\)

Coi đây là tam thức bậc hai ẩn \(y\) thì tìm \(\Delta< 0\forall x,z\), có:

\(\Delta=\left(1-4k^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2\left(1+4k\right)xz\)

Bất đẳng thức trên đối xứng \(x,z\) nên dự đoán \(P_{Max}\) khi \(x=z\)

Thay \(x=z=1\Rightarrow2k^2-2k-1=0\Rightarrow k=\frac{1+\sqrt{3}}{2}>0\)

Hay \(P_{Max}=3\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)