Question

cho x, y, z lớn hơn hoặc bằng 0 thỏa mãn điều kiện x+y+z = a

a, tìm GTLN của A= xy+yz+xz

b, tìm GTNN của B= x^2+y^2+z^2

ai nhanh mik tick

Answer 1

a, \(^{\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow}x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+z^2\ge0}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{a^2}{3}\). dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=a/3
b,Ap dụng bđt bunhia ta đc \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=a^2\Rightarrow B\ge\frac{a^2}{3}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=a/3