Question

Cho x, y, z là những số thực tùy ý.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

                  \(y=\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{1-x}\) với \(0< x< 1\)

Answer 1

\(y=\dfrac{4\left(x+1-1\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+1-x\right)}{1-x}\)

\(=4+9+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+9\dfrac{x}{1-x}\ge13+2\sqrt{4\dfrac{\left(1-x\right)}{x}.9\dfrac{x}{1-x}}=25\)

\(\Rightarrow y\ge25,\forall x\in\left(0;1\right)\)

Đẳng thức \(y=25\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}=\dfrac{9x}{1-x}=6\\x\in\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\)

Hay \(x=\dfrac{2}{5}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đặt tại \(x=\dfrac{2}{5}\)