Question

Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:

\(M=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)là một số chính phương

Answer 1

\(M=4x\left(x+y+z\right)\left(x^2+xz+yx+yz\right)+\left(yz\right)^2\)

\(M=4\left(x^2+xy+zx\right)\left(x^2+yz+zx+xy\right)+\left(yz\right)^2\)

\(M=4\left(x^2+xy+zx\right)\left\{\left(x^2+yz+zx\right)+xy\right\}+\left(yz^2\right)\)

\(M=4\left(x^2+xy+zx\right)^2+4\left(x^2+yz+zx\right)\left(yz\right)+\left(yz\right)^2\) ( hằng đẳng thức )

\(M=\left\{2\left(x^2+xy+zx\right)\right\}^2+2.2\left(x^2+xy+zx\right)\left(yz\right)+\left(yz\right)^2\)

\(M=\left(2\left(x^2+xy+zx\right)+\left(yz\right)\right)^2\)

\(M=\left(2x^2+2xy+zx+yz\right)^2\)

Answer 2

\(M=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=2x\left(x+y+z\right)2\left(x+y\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=\left(2x^2+2xy+2xz\right)\left(2x^2+2xy+2xz+2yz\right)+y^2z^2\)

Đặt \(2x^2+2xy+2xz+yz=a\)

\(M=\left(a-yz\right)\left(a+yz\right)+y^2z^2\)

\(=a^2-y^2z^2+y^2z^2\)

\(=a^2\)

Mà \(x;y;z\in N\Rightarrow a\in N\)

=> M là số chính phương

Answer 3

\(M=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xy+yz+zx\right)+y^2z^2\)

Đặt \(a=x^2+xy+xz\)

\(M=4a\left(a+yz\right)+y^2z^2=4a^2+4ayz+y^2z^2=\left(2a+yz\right)^2\)

Vậy \(M=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\)là số chính phương