Dễ dàng chứng minh được \(y+z\le\sqrt{\frac{\left(y^2+z^2\right)}{2}}\Rightarrow y+z\le\frac{b}{\sqrt{2}}\)
đặt \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{z^2+x^2}=c\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6\\a,b,c>0\end{cases}}\)
\(P\ge\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2}c}+\frac{c^2+b^2-a^2}{2\sqrt{2}a}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{a}-\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-\left(a+b+c\right)\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot6=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)
\(y+z\le\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\sqrt{2}+\sqrt{2}\le\sqrt{2}.\) " thay căn 2 "
yim yim sao t thay số vào thì cái bdt của m lại sai ????
bài m sai rồi hahah
\(\left(x+y\right)\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\left(x+y\right)\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}a\)
cái này tôi viết nhầm
còn ở dưới chắc đúng nhé
Cô si
\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right).4}\le\frac{\left(x^2+y^2+4\right)}{2}\)
suy ra \(2vt\le x^2+y^2+z^2+6\)
\(x^2+y^2+z^2\ge6\) (1)
Mincopki suy ra
\(VT\ge\sqrt{2\left(x+y+z\right)^2}=\sqrt{2}\left(x+y+Z\right)\)
\(\left(x+y+z\right)\le\frac{6}{\sqrt{2}}\) (2)
dự đoán Min P = 3/ căn 2
\(\frac{x^2}{y+z}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{x+z}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{z^2}{x+y}\ge0\)
\(\frac{\sqrt{2}x^2-y-z}{\sqrt{2}\left(y+z\right)}+\frac{\sqrt{2}y^2-x-z}{\sqrt{2}\left(x+z\right)}+\frac{\sqrt{2}z^2-x-y}{\sqrt{2}\left(x+y\right)}\)
vì x,y,z > 0 đề bài suy ra mẫu lớn hơn 0
vậy ta c/m tử số ...... \(\sqrt{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(x+y+z\right)\ge0\)
từ 1 và 2 ta suy ra
\(\ge\sqrt{2}.6-\frac{2.6}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.6-\sqrt{2}.6=0\) đúng
suy ra \(p-\frac{3}{\sqrt{2}}\ge0\) vậy ...........
