<=>27xyz=27(x+y+z)+54
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge27\left(x+y+z\right)+54\Rightarrow x+y+z\le6\)
\(4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le12\left(x+y+z\right)=9\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)\le9\left(x+y+z\right)+18=9\left(x+y+z+2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le9xyz\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\left(Q.E.D\right)\)
Từ giả thiết ta đặt ra: \(x+y+z=xyz\Rightarrow xy+yz+zx\ge\sqrt{3}a+b+c\ge9\) *
Ta lại có: \(x^2+5\ge5\sqrt{xyz}\)theo BĐT Cauchy
Từ đó BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+27\le4xy+yz+zx\Leftrightarrow a+b+c+27\le6\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\r=xyz\end{cases}}\)
Thì ta có: \(p=r\)và cần chứng minh
\(6q\ge p^2+27\Leftrightarrow6pr\ge p^3+27p\)
Theo BĐT Schur thì: \(r\ge\frac{4pq-p^3}{9}\)
Do đó: \(BĐT\Leftrightarrow\frac{8}{3}q^2\ge\frac{3}{2}p^2+27\)
BĐT cuối cùng đúng theo Đk *
P/s: Tham khảo nhé