Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Huy Hoàng

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z < 6.

Chứng minh rằng: 1/x + 1/y + 1/z > 3/2

               Các bạn làm giúp mình nhé mình tick cho!!!!!!!

Nguyễn Thành Công
3 tháng 1 2016 lúc 22:59

Trước tiên ta chứng minh với x,y,z là các số dương thì  \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)(*)

Thật vậy BĐT (*) tương đương với   \(3+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge9\)

hay \(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\) ( **)

Bây giờ ta đi cm (**)  Với x,y là 2 số dương thì   \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) 

Tương tự: \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\) Cộng các vế của các BĐT vừa cm được ta cm được (**) hay (*) cũng đúng

Áp dụng (*) ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)}\) lại có \(x+y+z\le6\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{6}\) ( x,y,z là các số dương)

Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Vương Tuấn Khải
3 tháng 1 2016 lúc 22:37

wa thu vi nha minh cung hoc lop 8 do 

 


Các câu hỏi tương tự
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
CR7 kathy
Xem chi tiết
Minh Triều
Xem chi tiết
Nguyễn Vương Phú
Xem chi tiết
Không Có Tên
Xem chi tiết