Trước tiên ta chứng minh với x,y,z là các số dương thì \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)(*)
Thật vậy BĐT (*) tương đương với \(3+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge9\)
hay \(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\) ( **)
Bây giờ ta đi cm (**) Với x,y là 2 số dương thì \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
Tương tự: \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\) Cộng các vế của các BĐT vừa cm được ta cm được (**) hay (*) cũng đúng
Áp dụng (*) ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)}\) lại có \(x+y+z\le6\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{6}\) ( x,y,z là các số dương)
Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
