\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)
Mà \(\alpha=x+y+z\) (theo gt) nên ta có thể viết \(Q\) như sau:
\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)
Đặt \(a=\frac{y+z}{x};\) \(b=\frac{x+z}{y};\) và \(c=\frac{x+y}{z}\) \(\Rightarrow\) \(a,b,c>0\)
Khi đó, biểu thức \(Q\) được biểu diễn theo ba biến \(a,b,c\) như sau:
\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)
\(\Rightarrow\) \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)
Mặt khác, ta lại có:
\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)
nên \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Lại có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\) (theo bđt \(Cauchy\) lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)
Nhân hai bđt \(\left(1\right);\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được bđt mới là:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Theo đó, \(a+b+c+3\ge9\) tức là \(a+b+c\ge6\)
\(\Rightarrow\) \(4\left(a+b+c\right)\ge24\) \(\left(\alpha\right)\)
Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh \(abc\ge8\) \(\left(\beta\right)\)
Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.
\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\beta\right)\) được chứng minh.
Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)
\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\) \(\left(\gamma\right)\)
Cộng từng vế 3 bđt \(\left(\alpha\right);\) \(\left(\beta\right)\) và \(\left(\gamma\right)\), ta được:
\(Q-8\ge24+8+24=56\)
Do đó, \(Q\ge64\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=2\)
Vậy, \(Q_{min}=64\) khi \(\alpha=6\)
