Câu hỏi của Nguyễn Thị Yến Như

Question

CHO x + y + z = 3a , tìm GTNN của A= x2 + y2 + z2b , tìm GTLN của B = xy + yz + xz

Nguyễn Xuân Sáng · Accepted Answer

1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y tương tự: +) 2yz ≤ y² + z² +) 2xz ≤ x² + z² cộng 3 vế của 3 bđt trên --> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) --> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² --> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz --> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² --> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² --> xy + yz + xz ≤ 3 Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2/ x² + ax + bc = 0 (1) x² + bx + ac =0 (2) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) x1 là nghiệm chung của 2 pt x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 <=> (x1).(a - b) = c(a - b) <=> x1 = c thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 --> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) --> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c thay a = - b - c vào (1): --> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b tương tự, thay b = - a - c vào (2): --> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a Vậy { x2 + x3 = a + b { x2.x3 = ab Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: x² - (a + b)x + ab =0 <=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 Đặt Q(x) = P(x) - 5x Ta có: Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 --> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 Q(x) được biểu diễn dưới dạng: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) mà Q(x) = P(x) - 5x --> P(x) = Q(x) + 5x --> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 --> [ P(12) - P(-9) ] / 105 = [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 = [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 = (10.11.21 + 105) / 105 = (2.5.11.21 + 105) / 105 = (2.11.105 + 105) / 105 = 22 + 1 = 23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Câu trả lời: 1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y tương tự: +) 2yz ≤ y² + z² +) 2xz ≤ x² + z² cộng 3 vế của 3 bđt trên --> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) --> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² --> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz --> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² --> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² --> xy + yz + xz ≤ 3 Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2/ x² + ax + bc = 0 (1) x² + bx + ac =0 (2) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) x1 là nghiệm chung của 2 pt x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 <=> (x1).(a - b) = c(a - b) <=> x1 = c thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 --> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) --> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c thay a = - b - c vào (1): --> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b tương tự, thay b = - a - c vào (2): --> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a Vậy { x2 + x3 = a + b { x2.x3 = ab Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: x² - (a + b)x + ab =0 <=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 Đặt Q(x) = P(x) - 5x Ta có: Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 --> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 Q(x) được biểu diễn dưới dạng: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) mà Q(x) = P(x) - 5x --> P(x) = Q(x) + 5x --> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 --> [ P(12) - P(-9) ] / 105 = [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 = [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 = (10.11.21 + 105) / 105 = (2.5.11.21 + 105) / 105 = (2.11.105 + 105) / 105 = 22 + 1 = 23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

zZz Phan Cả Phát zZz · Answer

a) Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: (x² + y² + z²)(1 + 1 + 1) = (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² <--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9 <--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9 <--> x² + y² + z² ≥ 3 --> M ≥ 3 --> min M = 3 khi x = y = z = 1b) Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y tương tự: +) 2yz ≤ y² + z² +) 2xz ≤ x² + z² cộng 3 vế của 3 bđt trên --> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) --> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² --> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz --> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² --> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² --> xy + yz + xz ≤ 3 Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2/ x² + ax + bc = 0 (1) x² + bx + ac =0 (2) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) x1 là nghiệm chung của 2 pt x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 <=> (x1).(a - b) = c(a - b) <=> x1 = c thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 --> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) --> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c thay a = - b - c vào (1): --> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b tương tự, thay b = - a - c vào (2): --> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a Vậy { x2 + x3 = a + b { x2.x3 = ab Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: x² - (a + b)x + ab =0 <=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 Đặt Q(x) = P(x) - 5x Ta có: Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 --> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 Q(x) được biểu diễn dưới dạng: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) mà Q(x) = P(x) - 5x --> P(x) = Q(x) + 5x --> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 --> [ P(12) - P(-9) ] / 105 = [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 = [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 = (10.11.21 + 105) / 105 = (2.5.11.21 + 105) / 105 = (2.11.105 + 105) / 105 = 22 + 1 = 23 Câu trả lời: a) Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: (x² + y² + z²)(1 + 1 + 1) = (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² <--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9 <--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9 <--> x² + y² + z² ≥ 3 --> M ≥ 3 --> min M = 3 khi x = y = z = 1b) Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y tương tự: +) 2yz ≤ y² + z² +) 2xz ≤ x² + z² cộng 3 vế của 3 bđt trên --> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) --> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² --> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz --> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² --> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² --> xy + yz + xz ≤ 3 Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2/ x² + ax + bc = 0 (1) x² + bx + ac =0 (2) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) x1 là nghiệm chung của 2 pt x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 <=> (x1).(a - b) = c(a - b) <=> x1 = c thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 --> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) --> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c thay a = - b - c vào (1): --> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b tương tự, thay b = - a - c vào (2): --> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a Vậy { x2 + x3 = a + b { x2.x3 = ab Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: x² - (a + b)x + ab =0 <=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 Đặt Q(x) = P(x) - 5x Ta có: Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 --> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 Q(x) được biểu diễn dưới dạng: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) mà Q(x) = P(x) - 5x --> P(x) = Q(x) + 5x --> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 --> [ P(12) - P(-9) ] / 105 = [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 = [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 = (10.11.21 + 105) / 105 = (2.5.11.21 + 105) / 105 = (2.11.105 + 105) / 105 = 22 + 1 = 23

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)