Question

Cho x > y và xy = 1. Chứng minh: \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

mặt khác \(x>y\Rightarrow x-y>0\)

áp dụng BĐT CÔ-SI CHO hai số dương ta được \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\frac{2}{x-y}}\ge2\sqrt{2}\)

dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-y\right)=\frac{2}{x-y}\)

Answer 2

Trường hợp dấu băng xảy ra chưa rỗ, còn cần phải giải thêm

Answer 3

\(x>y\Rightarrow x-y>0\)

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT cô-si, ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-2}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{\left(x-y\right)}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

=> ĐPCM