Question

cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\) .chứng minh rằng x2 -y2 chia hết cho 40

Answer 1

lam thế  nao vậy?

Answer 2

ko hỉu

Answer 3

Giả thiết đã cho có thể viết lại được thành 3x²-2y²=1(1)

Từ đây, ta có x lẻ nên x²chia 8 dư 1 => 3x² chia 8 dư 3

Từ đo ta có 2y² chia 8 dư 2

=> y² chia 8 dư 1. Do đó: x²-y² chia 8 (2)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh x²-y²chia hết cho 5 (3)

Chú ý rằng số dư của a² (a thuộc Z) khi chia cho 5 là 0;1 và 4

Nếu y² chia 5 thì từ (1) ta có 3x² chia 5 dư 1, mâu thuẫn do só dư của 3x² khi chia 5 chỉ có thể là 0;3;2Nếu y² chia 5 dư 4 thì từ (1) ta có 3x² chia 5 dư 4, mâu thuẫnDo đó ta phải có y² chia 5 dư 1. Khi đó từ (1) ta cũng suy ra x² chia 5 dư 1. Dẫn đến x²-y² chia hết cho 5

Từ (2) và (3) với chú ý (5;8)=1 ta thu được x²-y² chia hết cho 40 (đpcm)

Answer 4

\(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\)\(\Rightarrow\)\(3x^2-2y^2=1\)

vì số chính phương chia 5 dư 0,1,4 --> \(x^2;y^2\)^{chia 5 dư 0,1,4.}

^{* Mặt khác: \(x^2+y^2\equiv2\left(mod5\right)\)\(\leftrightarrow x^2\equiv1;y^2\equiv1\left(mod5\right)\)\(\rightarrow x^2-y^2\equiv0\left(mod5\right)⋮5\left(1\right)\)}

* Đặt: \(x=2k+1;y=2n+1\left(x,ylẻ\right)\)

\(x^2-y^2=\left(2k+1-2n-1\right)\left(2k+1+2n+1\right)\)\(=4\left(k-n\right)\left(k+n+1\right)⋮8\left(2\right)\)

( do k,n trùng nhau chẵn hoặc lẻ nên chia hết cho 2)

Từ (1);(2) ---> \(x^2-y^2⋮40\)do \(\left(5;8\right)=1\)