Giả thiết đã cho có thể viết lại được thành 3x2-2y2=1(1)
Từ đây, ta có x lẻ nên x2chia 8 dư 1 => 3x2 chia 8 dư 3
Từ đo ta có 2y2 chia 8 dư 2
=> y2 chia 8 dư 1. Do đó: x2-y2 chia 8 (2)
Tiếp theo ta sẽ chứng minh x2-y2chia hết cho 5 (3)
Chú ý rằng số dư của a2 (a thuộc Z) khi chia cho 5 là 0;1 và 4
Nếu y2 chia 5 thì từ (1) ta có 3x2 chia 5 dư 1, mâu thuẫn do só dư của 3x2 khi chia 5 chỉ có thể là 0;3;2Nếu y2 chia 5 dư 4 thì từ (1) ta có 3x2 chia 5 dư 4, mâu thuẫnDo đó ta phải có y2 chia 5 dư 1. Khi đó từ (1) ta cũng suy ra x2 chia 5 dư 1. Dẫn đến x2-y2 chia hết cho 5Từ (2) và (3) với chú ý (5;8)=1 ta thu được x2-y2 chia hết cho 40 (đpcm)
\(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\)\(\Rightarrow\)\(3x^2-2y^2=1\)
vì số chính phương chia 5 dư 0,1,4 --> \(x^2;y^2\)chia 5 dư 0,1,4.
* Mặt khác: \(x^2+y^2\equiv2\left(mod5\right)\)\(\leftrightarrow x^2\equiv1;y^2\equiv1\left(mod5\right)\)\(\rightarrow x^2-y^2\equiv0\left(mod5\right)⋮5\left(1\right)\)
* Đặt: \(x=2k+1;y=2n+1\left(x,ylẻ\right)\)
\(x^2-y^2=\left(2k+1-2n-1\right)\left(2k+1+2n+1\right)\)\(=4\left(k-n\right)\left(k+n+1\right)⋮8\left(2\right)\)
( do k,n trùng nhau chẵn hoặc lẻ nên chia hết cho 2)
Từ (1);(2) ---> \(x^2-y^2⋮40\)do \(\left(5;8\right)=1\)