\(2=2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2\le2\\x+y\le\sqrt{2}\end{cases}.}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^2+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\\y=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}}\)
\(P=x+y+2\left(x+y\right)^2\le\sqrt{2}+2.2=4+\sqrt{2}\)
Cho x , y , z là các số dương và xy + yz + xz = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A=\(\dfrac{x^2}{z\left(z^2+x^2\right)}+\dfrac{y^2}{x\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{z^2}{y\left(y^2+z^2\right)}\)
Cho x, ,y là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{xy}{x^2+y^2}+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x\le2\left(y+z\right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{\left(x+y+z\right)^3}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\)
Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A=\frac{xyz\left(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}\)
Cho các x,y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{^{\left(1+x^2\right)^2}\left(1+y^2\right)^2}\)
cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=1
a) Chứng minh rằng \(xyz\ge\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\)
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau, biết x và y ;à các số thực dương :
\(A=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)
Gỉa sử x,y là các số dương thỏa mãn đẳng thức x+y=\(\sqrt{10}\). Tìm giá trị của x và y để biểu thức P=\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
