Question

Cho x, y dương thỏa mãn: x+ y = 3. Chứng minh rằng: x²y \(\le4\)

Answer 1

0,75 giờ

Answer 2

Thay y = 3 - x vào bài toán, ta có:

\(x^2\left(3-x\right)\le4\)

\(\Leftrightarrow3x^2-x^3-4\le0\)

\(\Leftrightarrow-x^3-x^2+4x^2-4\le0\)

\(\Leftrightarrow-x^2\left(x+1\right)+4\left(x^2-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-x^2\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)\left(x-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(-x^2+4x-4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2\le0\)

Vì \(x+1>0\) và \(\left(x-2\right)^2\ge0\) nên bất đẳng thức này đúng.

\(\Rightarrow x^2y\ge4\)