Question

Cho x + y= a+b và \(x^2+y^2=a^2+b^2\). Chứng minh với mọi số nguyên dương \(x^n+y^n=a^n+b^n\)

Answer 1

Ta có :

\(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

Mà \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)

+ Nếu \(x-a=b-y=0\Leftrightarrow x=a;b=y\)      (1)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

\(\Leftrightarrow0=0\left(TM\right)\)

+ Nếu \(x-a=b-y\ne0\Leftrightarrow x+a=b+y\)

\(\Leftrightarrow x-y=b-a\)

Lại có : \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2b\\-2y=-2a\end{cases}}\)Cái trên là cộng vế với vế 2 ptr, cái dưới là trừ vế cho vế của 2 ptr nhé )

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases}}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow x=a;y=b\)hoặc \(x=b;y=a\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)(đpcm)