Áp dụng BĐT cosi với 2 số x,y > 0
Ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Leftrightarrow a\ge\sqrt{xy}\)
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm \(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\)
ta có: \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}\ge\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)
Tiếp tục xét: \(\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{a}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{a}\)
A đạt GTNN khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow x=y=a\)
Áp dụng BDT BU-nhi-a mo rong, ta có:
A=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}\)
Do \(x+y=2a\)nen:
A\(\ge\frac{4}{2a}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{a}\)
Dau bang xay ra khi : x=y=a
