Question

Cho x là số thực khác 0. Tìm GTNN của biểu thức A = \(8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+2015\)

Answer 1

\(A=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+2015\)

\(=\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+2014\)

\(=\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(2x-1\right)^2+2014\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có : \(4x^2+\frac{1}{4x^2}\ge2\sqrt{4x^2.\frac{1}{4x^2}}=2\)

\(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(4x^2-4x+1\right)\ge2\)

\(\Rightarrow A=\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+2014\ge2016\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x^2=\frac{1}{4x^2}\\\left(2x-1\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=2016\) tại \(x=\frac{1}{2}\)