Question

Cho x > 0, y > 0 và x² + y² = 1. Chứng minh S =\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\ge3\sqrt{2}+4\)

Answer 1

A=\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+y\right)=x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}+1+y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+1\)

=\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

mà x²+y²=1

=>2(x²+y²)>(=)(x+y)²

\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\ge\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)+4\)

                                                                            \(=\left[\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\right]+4\ge2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4=4+3\sqrt{2}\)

Answer 2

Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Nga - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Answer 3

Giải:

Ta có:

\(S=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge4+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Mặt khác ta có: \(x+\frac{1}{2x}\ge\sqrt{2}\)

                        \(y+\frac{1}{2y}\ge\sqrt{2}\)

                        \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{2}{x+y}\ge\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=\sqrt{2}\)

Cộng vế theo vế ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)