Question

Cho \(\widehat{xAy}\ne180\), các điểm B, Ctheo thứ tự chuyển động trên tia Ax và Ay sao cho: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{k}\)(k là hằng số dương). CMR: Đường thẳng BC luôn đi qua 1 điểm cố định

Answer 1

Vì k là hằng số dương nên k là độ dài của một đoạn thẳng, độ dài của đoạn thẳng này không đổi

Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM=k, lấy S và N trên BC và AC sao cho MS // AC, SN // AB

Từ giả thiết suy ra \(\frac{k}{AB}+\frac{k}{AC}=1\). Áp dụng ĐL Thales ta có \(\frac{k}{AB}=\frac{AM}{AB}=\frac{CS}{CB}\)

Do đó \(\frac{k}{AC}=1-\frac{CS}{CB}=\frac{BS}{BC}=\frac{AN}{AC}\)(vì SN // AB) => AN = k = const

Ta thấy tia Ax cố định, M thuộc Ax, AM = k = const => M cố định. Tương tự: N cố định

Dễ có tứ giác AMSN là hình bình hành có AM = AN => Tứ giác AMSN là hình thoi

Do 3 đỉnh A,M,N cố định nên S cũng là điểm cố định. Mà BC đi qua S nên ta có ĐPCM.