Gọi ước chung nguyên tố của a.b và a2 + b2 là n (n thuộc N*)
=> a.b chia hết cho n (1)
a2 + b2 chia hết cho n (2)
Từ (1) => có ít nhất 1 thừa số chia hết cho n.
+ Nếu a chia hết cho n => a2 chia hết cho n
b không chia hết cho n => b2 không chia hết cho n
Từ 2 điều trên => a2 + b2 không chia hết cho n (Trái với (2), loại)
+ Nếu a không chia hết cho n => a2 không chia hết cho n.
b chia hết cho n => b2 chia hết cho n.
Từ 2 điều trên => a2 + b2 không chia hết cho n (Trái với (2), loại)
+ Nếu a chia hết cho n => a2 chia hết cho n
b chia hết cho n => b2 chia hết cho n.
Từ 2 điều trên => a2 + b2 chia hết cho n (chọn)
Vậy cả a và b đều chia hết cho n.
=> n thuộc ƯC(a; b)
Mà ƯCLN(a; b) = 1
=> 1 chia hết cho n.
=> n = 1 (Vô lí ví n là số nguyên tố)
=> a.b và a2 + b2 không có ƯC nguyên tố.
=> ƯCLN(a.b; a2 + b2) = 1
Vậy...
