Question

Cho tứ giác ABCD,Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các đường chéo Cmr:

\(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2\)

Answer 1

Giả sử E, F lần lượt là trung điểm AC, BD.

Theo công thức trung tuyến:

\(\left\{{}\begin{matrix}BE^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\\DE^2=\dfrac{CD^2+DA^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2+BC^2=2BE^2+\dfrac{AC^2}{2}\\CD^2+DA^2=2DE^2+AC^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+BC^2+CA^2+DA^2\)

\(=2\left(BE^2+DE^2\right)+AC^2\)

\(=4EF^2+BD^2+AC^2\left(đpcm\right)\)