Question

Cho tứ giác ABCD.  Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

a, Chứng minh AB+BC+CD+AD / 2   <  OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+AD

Answer 1

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Xét lần lượt các tam giác OAB , OBC , OCD , OAD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được : 

\(OA+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OA+OD>AD\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\) \(\Rightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)

Tương tự, lần lượt xét các tam giác ACD , BCD , BAC , ABD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được : 

\(AD+CD>AC\) ; \(BC+CD>BD\) ; \(AB+BC>AC\) ; \(AB+AD>BD\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)(2)

Từ (1) và (2) ta có : \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

hay \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+AD\)

Answer 2

ve hin hra roi nghi cach cm 

Answer 3

mày bảo cho hình mà =))))

Answer 4

*Chứng minh AB+BC+CD+AD/2 <OA+OB+OC+OC:
-Xét tam giác AOB: OB+OA>AB (BĐT tam giác)

-Xét tam giác OBC: OB+OC>BC (BĐT tam giác)

-Xét tam giác OCD: OC+OD>CD (BĐT tam giác)

-Xét tam giác AOD: OA+OD>AD (BĐT tam giác)

Cộng các vế trái, các vế phải, ta được:
2(OB+OA+OC+OD) >AB+BC+CD+AD

<=> OB+OA+OC+OD > (AB+BC+CD+AD)/2 (đpcm)

*Chứng minh OA+OB+OC+OD <AB+BC+CD+AD

-Xét tam giác ABC: AB+BC>AC=AO+OC (BĐT tam giác)

-Xét tam giác BCD: BC+CD>BD=OB+OD (BĐT tam giác)

-Xét tam giác ACD: AD+CD>AC=AO+OC (BĐT tam giác)

-Xét tam giác ADB: AB+AD>BD=OB+OD (BĐT tam giác)

Cộng các vế trái, vế phải, ta được:

2(AB+AD+BC+CD)>2(OB+OC+OD+OA)

<=> AB+AD+BC+CD>OB+OC+OD+OA (đpcm)