Question

cho tứ giác ABCD .gọi M,N,P,Q là tđ của AB,BC,CD,DA. Cmr MNPQ là hình bình hành.b, tứ giác ABCD thêm điều kiện gì  để mnpq là hcn

Answer 1

Vì M,N là trung điểm AB,BC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//AC và \(MN=\dfrac{1}{2}AC\left(1\right)\)

Vì P,Q là trung điểm CD,DA nên PQ là đtb tg ACD

Do đó PQ//AC và \(PQ=\dfrac{1}{2}AC\left(2\right)\)

Từ (1)(2) ta được MN//PQ và \(MN=PQ\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)\)

Do đó MNPQ là hình bình hành

Để MNPQ là hcn thì \(\widehat{MNP}=90^0\)

\(\Leftrightarrow MN\perp NP\left(3\right)\)

Ta thấy NP là đtb tg BCD nên NP//BD

Do đó NP//BD (4)

Kết hợp (3) và (1) và (4) ta được MNPQ là hcn

\(\Leftrightarrow AC\perp BD\)