Question

Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a, Chứng minh \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\)

b, Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

Answer 1

a.

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\)

Do M là trung điểm AD, N là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\)

b.

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\left(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right)=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow O\) là trung điểm MN