Question

Cho tứ giác ABCD có  góc A + góc C = 180^o , AC là phân giác của góc BAD. Trên một nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác đều BDE. Gọi K là trung điểm của BD. M thuộc AB sao cho AM=AD.

CMR : a)CD=CM

           b)C, K, E thẳng hàng.

 

Answer 1

a) Gọi H là giao điểm của DM và AC

Xét tam giác ADM có: AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADM cân tại A  và có AH là đường cao

=> AH là đường trung tuyến của tam giác ADM

=> H là trung điểm DM

=> tam giác CDM có CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 

=> Tam giác DCM cân tại D

=> CD=CM

b) Xét tam giác ADC và tam giác AMC có:

CD=CM ( chứng minh trên)

AC chung

AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADC = tam giác AMC

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMC}+\widehat{CMB}=180^o\)

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{CMB}=180^o\) (1)

Xét tứ giác ABCD có góc A+góc C=180^o

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180^o\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{CMB}\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{CMB}\)

=> Tam giác BCM cân tại C

=> CM =CB

mà theo câu a : CD=CM

=> CB=CD

=> Tam giác DCB cân tại C có K là trung điểm BD

=> CK vuông góc BD (3)

Mặt khác xét tam giác EBD đều có K là trung điểm BD

=> EK vuông góc với BD (4)

Từ (3), (4) 

=> E, K, C thẳng hàng