Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m.
Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F
⇒ G G ' = 1 2 EE' +FF').
Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D.
⇒ EE ' = 1 2 (AA' +CC') và FF ' = 1 2 (BB' +DD')
Thay vào (1) ta được ĐPCM
Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào hình thang ABCD; Gọi A',B',C',D',G' lần lượt là hình chiếu của A,B,C,D,G lên đường thẳng m. Chứng minh GG'=1/4 (AA' +BB' +CC' +DD')
Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào hình thang ABCD; Gọi A',B',C',D',G' lần lượt là hình chiếu của A,B,C,D,G lên đường thẳng m. Chứng minh GG'=1/4 (AA' BB' CC' DD')
1. Cho tứ giác ABCD ( AD không song song BC) có E,F lần lượt là trung điểm AD, BC và EF=AB+CD/2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
2. Cho tứ giác ABCD có AD=BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N của 2 cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh góc AEM=góc MFB.
3. Cho tam giác ABC (AB>AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD=AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh góc BAC = 2.BMN
4. Cho tứ giác ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đồng quy.
5. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác ABC. Gọi A', B', C', G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên đường thẳng d. Chứng minh GG'=AA'+BB'+CC'/3
Cho tứ giác ABCD và 1 đường thẳng d không đi qua miền trong tứ giác. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của Ac và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Gọi A'; B'; C'; D'; I' lầ lượt là hình chiếu vuông góc của A; B; C; D; I trên đường thẳng d.
CMR: AA' + BB' + CC' + DD' = 4.II'
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC và M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' và MN đồng quy.
Cho tam giác ABC và trọng tâm M
1) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M cắt cạnh AB, AC Gọi A', B', C' là hình chiếu lần lượt của A, B, C trên d Tìm mối liên hệ giữa AA', BB', CC'
2) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G' là hình chiếu của G trên d tìm mối liên hệ giữa AA', BB', CC', GG'
Cho tam giác ABC và trọng tâm M
1) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M cắt cạnh AB, AC Gọi A', B', C' là hình chiếu lần lượt của A, B, C trên d Tìm mối liên hệ giữa AA', BB', CC'
2) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G' là hình chiếu của G trên d tìm mối liên hệ giữa AA', BB', CC', GG'
Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d ko đi qua miền trong của tứ giác .Giọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD ,Gọi I là trung điểm EF.Gọi A';B';C';D';I' lần lượt là hình chiếu của A;B;C;D;I trên d .CMR AA' + BB' + CC' + DD' = 4 II'
cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD.
a, Chứng minh các đường thẳng MP, NQ, RS đồng quy tại I.
b, Chứng minh đường thẳng AI đi qua trọng tâm A' của tam giác BCD và IA=3IA'.
c, Gọi B', C', D' theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB' cắt nhau tại một điểm và điểm này chia các đoạn AA', BB', CC', DD' theo cùng một tỉ số.
