Question

cho tứ giác ABCD có BC=ADva BC ko song song với AD, gọi M,N,P,Q,E,F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA,AC,BD

a chứng minh tứ giác MEPF là hình thoi

b chứng minh các đoạn thẳng MP,NQ,EF cùng cắt nhau tại 1 điểm

 

Answer 1

a) xét tam giác BAD ta có:

M là trung điểm AB (gt)

F là trung điểm BD (gt)

vậy MF là đường trung bình tam giác BAD

=>MF//AD và MF=1/2 AD (1)

xét tam giác ADC ta có:

P là trung điểm CD (gt)

E là trung điểm AC (gt)

vậy PE là đường trung bình tam giác ADC

=>PE//AD và PE=1/2 AD (2)

từ (1) và (2) => PE//MF và PE=MF=1/2 AD

tương tự như vậy với ME và PF ta có được ME//PF và ME=PF=1/2 BC

ta có:

ME=PF=1/2 BC (cmt)

MF=PE=1/2 AD (cmt)

AD=BC (gt)

vậy ME=PF=MF=PE 

=>MEPF là hình thoi

b) vẽ tứ giác MQPN. gọi giao điểm QN và MP là K

xét tam giác ABD ta có:

Q là trung điểm AD (gt)

M là trung điểm AB (gt)

vậy MQ là đường trung bình tam giác ABD

=> MQ//BD và MQ=1/2 BD (1)

xét tam giác CBD ta có:

P là trung điểm CD (gt)

N là trung điểm BC (gt)

vậy PN là đường trung bình tam giác CBD

=> PN//BD và PN=1/2 BD (2)

từ (1) và (2)=> PN//MQ và PN=MQ

=>MQPN là hình bình hành

mà QN và MP là hai đường chéo và K là giao điểm

=>K là trung điểm của QN và MP (3)

xét hình thoi MEPF ta có:

MP và EF là hai đường chéo

K là trung điểm MP (cmt)

=> K là trung điểm EF (4)

từ (3) và (4)=> QN,MP,EF đồng quy tại K.

Answer 2

bài này khá đơn giản nên bạn tự vẽ hình nha !