Question

Cho tổng S = \(a+a^2+a^3+...+a^n\left(n\in N\right)\)với giá trị nào của n để S chia hết cho a+1 (\(a\ne-1\))

Answer 1

Lời giải:

Nếu $n$ lẻ thì:

$S=a+(a^2+a^3)+(a^4+a^5)+....+(a^{n-1}+a^n)$

$=a+a^2(1+a)+a^4(1+a)+....+a^{n-1}(1+a)$
$=a+(1+a)(a^2+a^4+....+a^{n-1})$

$=(a+1)+(1+a)(a^2+a^4+...+a^{n-1})-1$

$=(a+1)(1+a^2+a^4+...+a^{n-1})-1\not\vdots a+1$

Nếu $n$ chẵn thì:

$S=(a+a^2)+(a^3+a^4)+....+(a^{n-1}+a^{n})$

$=a(1+a)+a^3(1+a)+....+a^{n-1}(1+a)$
$=(1+a)(a+a^3+...+a^{n-1})\vdots a+1$

Vậy với giá trị $n$ chẵn thì yêu cầu đề bài được thỏa mãn.