Question

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A.Phân giác AD=d,AB=c,AC=b.Chưng minh:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{2}}{d}\)

Answer 1

Tự vẽ hình nhé!

+Từ D hạ DF⊥ AB và DE ⊥ AC => AEDF là hình vuông \(\Rightarrow AD=\sqrt{2}AE\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AE}\)

=> AE = DE = DF = x.

+Có: ΔBDF ∾ ΔDCE \(\Rightarrow\frac{BF}{DF}=\frac{DE}{CE}\Rightarrow BF.CE=DF.DE=x^2\)

\(\Rightarrow\left(c-x\right)\left(b-x\right)=x^2\Leftrightarrow bc-x\left(b+c\right)+x^2=x^2\Leftrightarrow bc=x\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}\)

Mà \(\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{1}{AE}=\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{2}}{d}\)