cho tam giác nhọn ABC( AB<AC) đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D . CE cắt BD ở H và AH cắt BC ở K.
a) BEHK nội tiếp và KA là tia phân giác của góc EKD
b) gọi AI , AJ là tiếp tuyến của đường tròn (O) ; (I,J là các tiếp điểm và hai điểm D J nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là AK ) chứng minh rằng góc IKE= góc DKJ
c) ba điểm I ; H ; J thẳng hàng .
a) Tứ giác BEHK có hai góc đỉnh E, K là vuông nên bốn đỉnh của tứ giác thuộc đường tròn đường kính EK.
Mặt khác, tứ giác ABKD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB. Theo tính chất về các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, ta suy ra \(\angle EKA=\angle EBD=\angle AKD\to AK\) là phân giác của góc EKD.
b) Tứ giác AIKJ có hai góc đỉnh I, J vuông nên các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn đường kính AK. Do vậy \(\angle IKA=\angle AJI,\angle JKA=\angle AIJ\to\angle IKA=\angle JKA\) (do tính chất tiếp tuyến). Mà AK là phân giác của góc EKD. Suy ra \(\angle IKE=\angle JDA.\)
c) Gọi T là giao điểm AO với IJ. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có
\(AI^2=AT\cdot AO.\) Do chứng minh trên
\(\angle IKA=\angle AJI=\angle AIJ\to\Delta AIH\sim\Delta AKI\left(g.g\right)\to\frac{AI}{AK}=\frac{AH}{AI}\to AI^2=AH\cdot AK.\)
Vậy ta có \(AT\cdot AO=AH\cdot AK\to\frac{AT}{AH}=\frac{AK}{AO}\to\Delta ATK\sim\Delta AKO\to\angle ATH=\angle AKO=90^{\circ}.\) Do đó ta có \(HT\perp AO\), mà \(IJ\perp AO\) do tính chất tiếp tuyến. Suy ra \(TH\equiv IJ\to I,H,J\) thẳng hàng.
